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《50道杂题别解》(四)
发布时间:2006-11-15   来源:校办   作者:校办
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50 道 杂 题 别 解13/11/2006

 

问题  4     有若干个不同的自然数,至少要从中取出多少个数,其中必有4个数的和能被4整除?

 【分析与解】

 

任何自然数被4除的余数只有0123四种情况,因此本题可以转化为:在足够多的0123的数群中,至少需要取出几个数,才能保证其中4个数的和一定能被4整除?如果余数相同的4个数,它们的和一定都能被4整除。下面我们就来讨论余数不一定相同的4个数,它们的和是不是也一定能被4整除的问题。因为任意多个余数是“0的自然数的和都能被4整除,所以我们只需要讨论余数是123的情况就可以了。

根据“抽屉原理”,我们可以把除以4的余数123分别作为3个抽屉:如果是4个数,那么,只有一个抽屉有2个数,不能保证一定能被4整除;如果有5个数,那么,就有两个抽屉里有2个数,或者有1个抽屉里有3个数,“1和“2、“2和“3不行,3个“1、“2或“3”也不行;如果有6个数,只有3个抽屉里都有2个数,或者两个抽屉里各有三个数时可以。如果有7个数,我们只要讨论前6种情况就可以了。

 

             抽屉“1        抽屉“2        抽屉“3        结论

                 3                3                1            可以

                 3                1                3            可以

                 3                2                2            可以

                 2                2                3            可以

                 2                3                2            可以

  1                3                3            可以

                 4                1                2            可以

                ……             ……             ……          ……

经列表观察:如果取7个数,不管各个抽屉里是几个数,都有四个数的和能被4整除。所以在若干个自然数中,至少要取出7个数才能保证其中有4个数的和能被4整除。

同理,可以找出至少要取出9个数才能保证5个数的和能被5整除;至少要取出11个数才能保证6个数的和能被6整除,……   所以,如果要取出若干个数,使其中n个数的和一定能够被n整除,至少要取多少个数的一般通式为:

2n1)+1 = 2n21 = 2n1.

              

 

我们还可以这样证明关于在任意7个自然数中,必有4个自然数的和是4的倍数:因任意3个自然数中,必有2个自然数的和是2的倍数。任意2 个自然数非奇即偶,3个数中一定至少有两个数同奇偶,则它们的和是偶数,即2的倍数。

 

证明   7个自然数中任取三个,则在这三个数中必有两数之和为偶数,(a1+a2);在余下的5个自然数中再任取三个,则在这三个数中也必有两数之和为偶数,(a3+a4);那么,在余下的3个自然数中,也必有两数之和为偶数,(a5+a6);因为a1+a2a3+a4a5+a6均为偶数,它们被4除的余数只有02两种,则a1+a2a3+a4a5+a6中一定而且至少有两个余数相同,所以它们的和一定是4的倍数。

 因此,我们可以反过来叙述:任意3个自然数中,必有2个自然数的和是2的倍数,取这2个数;再任意取3个自然数,情况同上,又取2个数;第三次再取3个自然数,其中必有2个数的和是2的倍数。这样共取(223 =7个数,所以说至少要取7个自然数,才能保证其中必有4个数的和能被4整除。

 

问题5 一群同学计划合伙买一个大型玩具。后来,有10个同学说不参加了,这样余下的每个同学就要多出1元钱。到结伴去买玩具时,又有15个同学退出,这样余下的每个同学又要多出2元钱。问:一开始这一群计划合伙买玩具的同学一共有多少人?

 

        这道题,用方程解可以列二元一次方程组,但列方程容易,解方程难,尤其是学生;也可以列一元一次方程来解,但解方程容易,列方程难。如果您能列出简易方程,您就同时还能用算术方法解。您看,我真是废话连篇,耽误了您思考的时间,实在抱歉,就此“带住”!

 


 

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