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《50道杂题别解》(三)
发布时间:2006-11-06   来源:校办   作者:校办
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问题  3 5个不同的自然数,使得其中任意3个数的和都是3的倍数,这5个数的和最小是多少?

分析与解  由于现在的教材已经将“0纳入自然数范畴,所以在解题时应该将“0考虑在内,那么,“0就是最小的自然数。如果5个自然数被3除的余数不全相同,则至少有1个余数与其他余数不同,而且至少有两个余数相同(012)。这样从中总能找到3个数,它们的和不是3的倍数。为了使所取的5个自然数的和最小,我们就要把取“0考虑在内。任意自然数被3除,余数有012三种情况。如果5个自然数被3除的余数完全相同(5152或者50),那么,任意3个数的和一定都能被3 整除。

所以,要符合题目要求,这5个自然数被3除的余数必须相同。只有在余数完全相同的条件下(全部是012),才能够保证其中任意3个数的和能被3整除。要使这5个自然数的和尽可能小,就必须取自然数列中靠前的3个被3除余0的数,即取036912。这样,所取的五个自然数的和最小是(036912 =30

如果是非零自然数,那就应该取被3除余1的数,即取:1471011。这五个自然数的和最小是(1471013 =35
    
如果把题目稍作改动:在若干不同的自然数中,至少要从中取出多少个数,才能保证其中必有3个数的和是3的倍数。这就与下一题的意思一样了。考虑这一题的解法,也就考虑了问题四的解法。

 

 

问题  4 有若干个不同的自然数,至少要从中取出多少个数,其中必有4

个数的和能被4整除?

这道题与问题3有一定的联系。要使得任意3个数的和能被3整除,需要5个数,4个数行不行呢?弄清楚这个问题,对解答本题有“相当”的帮助。那么,到底至少要取出多少个数,才能保证其中必有4个数的和能被4整除呢?根据我们发现的规律,如果有可能,是不是还可以多考虑一些,比如“至少要从中取出多少个数,其中必有5个数的和能被5整除”,“至少要从中取出多少个数,其中必有6个数的和能被6整除”…呢?甚至,还能找出一个“通式”,把所有类似的问题都解决呢?

 

 


 

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